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title: '[系列 2] 從兩人到 n 人：藏在納許均衡背後的數學世界 — n 人博弈與非合作賽局'
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    - 賽局理論
    - 納許均衡
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    - '2026'
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   7th Jun 2026  - Mark 

#  \[系列 2\] 從兩人到 n 人：藏在納許均衡背後的數學世界 — n 人博弈與非合作賽局 

 [  賽局理論  ](https://www.dbyellow.com/tag:%E8%B3%BD%E5%B1%80%E7%90%86%E8%AB%96#blog_list) [  納許均衡  ](https://www.dbyellow.com/tag:%E7%B4%8D%E8%A8%B1%E5%9D%87%E8%A1%A1#blog_list) [  n人博弈  ](https://www.dbyellow.com/tag:n%E4%BA%BA%E5%8D%9A%E5%BC%88#blog_list) [  非合作博弈  ](https://www.dbyellow.com/tag:%E9%9D%9E%E5%90%88%E4%BD%9C%E5%8D%9A%E5%BC%88#blog_list) [  數學  ](https://www.dbyellow.com/tag:%E6%95%B8%E5%AD%B8#blog_list) [  AI  ](https://www.dbyellow.com/tag:AI#blog_list) [  系列文  ](https://www.dbyellow.com/tag:%E7%B3%BB%E5%88%97%E6%96%87#blog_list) 

  [ 部落格 ](https://www.dbyellow.com/)      \[系列 2\] 從兩人到 n 人：藏在納許均衡背後的數學世界 — n 人博弈與非合作賽局    

> **📚 本系列文章**
> 
> - **系列 1** — 納什的故事與納許均衡的直覺 → [上一篇：約翰·納什與他的賽局理論](https://www.dbyellow.com/blog/2026-06-nash-series-1-john-nash-game-theory)
> - **系列 2（本文）** — n 人博弈中的均衡點 + 非合作博弈
> - **系列 3**（規劃中）— 合作博弈、Shapley 值與機制設計

#### Table of Contents

- [引子：那 28 頁裡到底寫了什麼](#28)
- [第一章：為什麼「兩人遊戲」不夠？](#)
    - [囚徒困境的極限](#-1)
- [第二章：非合作賽局的形式化定義](#-2)
    - [2.1 什麼是「非合作」？](#2-1)
    - [2.2 形式化定義（n 人非合作賽局）](#2-2-n)
    - [2.3 純策略納許均衡：定義](#2-3)
    - [2.4 混合策略納許均衡：定義](#2-4)
- [第三章：納許的存在性定理 — 每場有限遊戲都有均衡](#-3)
    - [3.1 定理敘述](#3-1)
    - [3.2 直覺類比](#3-2)
    - [3.3 一個 n=3 的簡單例子：三候選人選戰](#3-3-n-3)
    - [3.4 一個 n=10 的例子：公共財悲劇（Tragedy of the Commons）](#3-4-n-10-tragedy-of-the-c)
- [第四章：Cournot 寡占 — 連續策略的經典](#cournot)
    - [4.1 設定](#4-1)
    - [4.2 兩家公司的均衡](#4-2)
    - [4.3 n 家公司的推廣](#4-3-n)
    - [4.4 Bertrand 的反撲](#4-4-bertrand)
    - [4.5 Stackelberg 與時間賽局](#4-5-stackelberg)
- [第五章：多均衡的困境 — 怎麼選？](#-4)
    - [5.1 均衡可能不只一個](#5-1)
    - [5.2 焦點定理與 Schelling Point](#5-2-schelling-point)
    - [5.3 路徑依賴與 QWERTY 故事](#5-3-qwerty)
    - [5.4 風險主導 vs 利潤主導](#5-4-vs)
- [第六章：精練均衡 — 把「不可信」的那種砍掉](#-5)
    - [6.1 不可信威脅問題](#6-1)
    - [6.2 完美貝氏均衡](#6-2)
    - [6.3 顫抖手均衡](#6-3)
- [第七章：AI 時代的 n 人非合作賽局](#ai-n)
    - [7.1 多代理人強化學習（MARL）就是 n 人賽局](#7-1-marl-n)
    - [7.2 LLM agent 的合作與背叛](#7-2-llm-agent)
    - [7.3 區塊鏈共識：千萬人級的 n 人賽局](#7-3-n)
- [第八章：為什麼這 28 頁改變了世界？](#28-1)
- [結語：你怎麼找到你的均衡？](#-6)

## 引子：那 28 頁裡到底寫了什麼

系列 1 我們聊了納什的故事、納許均衡的「直覺」、還有它在 AI 時代的應用。

但很多讀者反應一個問題：

> 「納許均衡到底是怎麼『找出來』的？」 「為什麼我玩剪刀石頭布明明沒有『純策略均衡』，但每次都還是會停在某個 pattern？」 「非合作跟合作到底差別在哪？」

這些問題的答案，其實都藏在納什 1950 年那 28 頁博士論文裡。

這一篇，我們來拆開來看：**n 人非合作賽局（n-player non-cooperative game）** 到底是一個怎樣的數學世界。

為了照顧不同背景的讀者，我會用三種層次來講：

1. **白話層** — 故事跟直覺
2. **數學層** — 形式化定義
3. **現代應用層** — AI、市場、區塊鏈

你可以挑自己舒服的層次看，但**建議三層都讀一次**，因為它們互相支撐。

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## 第一章：為什麼「兩人遊戲」不夠？

### 囚徒困境的極限

系列 1 我們詳細講了囚徒困境（Prisoner's Dilemma）：

兩個人，每個人兩個策略，總共 4 種結局。畫個 2×2 的策略矩陣（payoff matrix），均衡點一目了然。

但現實世界不是 2 個人、不是 2 個策略。

當你把場景換一下：

- **晶圓代工市場**：台積電、三星、英特爾，每家可以選「漲價」「降價」「維持」，3 家公司、3 個策略，組合數已經是 $3^3 = 27$ 種
- **電商市場**：淘寶、蝦皮、亞馬遜、PChome 4 家搶市，每家可以選「補貼」「不補貼」「燒錢換市佔」，策略組合變 $3^4 = 81$ 種
- **AI 多代理人系統**：10 個 AI agent，每個 agent 有 5 個策略，組合數是 $5^{10} = 9,765,625$ 種

策略矩陣根本畫不下。囚徒困境那種「畫張表就能找出均衡點」的方法，瞬間失效。

這時候，納什 1950 年那 28 頁就派上用場了。

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## 第二章：非合作賽局的形式化定義

### 2.1 什麼是「非合作」？

在動手定義前，先把一個容易搞混的詞釐清：**非合作（non-cooperative）**。

聽起來很負面，好像「大家都不合作」的意思。但其實**不是**

> 在賽局理論裡，「合作」vs「非合作」是**技術術語**，不是道德判斷。
> 
> - **合作賽局（cooperative game）**：玩家之間可以**事先簽訂具法律約束力的合約**，把收益綁在一起分配。焦點是「**事後如何分餅**」。
> - **非合作賽局（non-cooperative game）**：玩家**無法簽合約**，每個人都獨立決策。焦點是「**事前如何行動**」。

囚徒困境是經典的非合作賽局——兩個嫌犯沒辦法事先談好「我們都沉默」然後簽合約（也沒辦法執行）。

但你會驚訝地發現：

> **現實世界 90% 的商業、政治、社會互動，都是非合作賽局。**

因為：

- 兩家公司即使談好價格，也很難用合約強制對方「不能降價搶客戶」
- 兩個國家即使簽了條約，也無法阻止對方偷偷發展軍備
- 你跟同事即使口頭約好「互相 cover」，也沒有真正的強制力

納什聚焦在「非合作」是因為它**更基本、更難、也更能描述真實世界**。

### 2.2 形式化定義（n 人非合作賽局）

一個 n 人非合作賽局可以用三個東西完全描述：

$$ G = (N, S, u) $$

| 符號 | 意義 | 白話解釋 |
|---|---|---|
| $N = {1, 2, \\ldots, n}$ | 玩家集合 | 誰在玩這個遊戲 |
| $S = S\_1 \\times S\_2 \\times \\cdots \\times S\_n$ | 策略空間 | 每個玩家各自能選什麼 |
| $u = (u\_1, u\_2, \\ldots, u\_n)$ | 效用函數 | 每個玩家「最想要什麼」 |

**純策略（pure strategy）**：玩家從自己可選的策略中挑一個。

**混合策略（mixed strategy）**：玩家從自己可選的策略中**隨機抽一個**，每個策略對應一個機率。

舉個具體例子：

**剪刀石頭布** 是一個 2 人非合作賽局：

- $N = {你, 對手}$
- $S\_1 = S\_2 = {剪刀, 石頭, 布}$
- $u\_1, u\_2$ 是輸贏對應的 payoff（贏 +1，平 0，輸 -1）

**注意**：剪刀石頭布**沒有純策略納許均衡**（不管你出什麼，對方都可以出一個贏你的）。但它有**混合策略均衡**——兩個人都以 1/3 的機率出剪刀、1/3 石頭、1/3 布。

這個混合策略均衡的存在，正正是納什 1950 年證明的。

### 2.3 純策略納許均衡：定義

承系列 1，n 人版的定義其實就是 2 人版的直接推廣：

> **策略組 $s^ *= (s\_1^*, s\_2^*, \\ldots, s\_n^*)$ 是純策略納許均衡，若且唯若對每個玩家 $i$：**$$u\_i(s*i^\*, s*{-i}^*) \\geq u\_i(s*i, s*{-i}^*) \\quad \\text{對所有可能的 } s\_i \\in S\_i$$
> 
> 也就是：在其他人都守在 $s\_{-i}^\*$ 的前提下，玩家 $i$ 已經選了他能選的「最好」。

這定義在 n 個人時完全一樣，只是要把「另一個人」換成「其他 n-1 個人」。

### 2.4 混合策略納許均衡：定義

當純策略不存在時，納許的數學天分就展現出來了。

把策略空間從「具體的行動」推廣到「**行動上的機率分佈**」：

> **策略組 $\\sigma^ *= (\\sigma\_1^*, \\sigma\_2^*, \\ldots, \\sigma\_n^*)$ 是混合策略納許均衡，若且唯若對每個玩家 $i$：**$$E\[u\_i(\\sigma*i^\*, \\sigma*{-i}^*)\] \\geq E\[u\_i(\\sigma*i, \\sigma*{-i}^*)\] \\quad \\text{對所有可能的 } \\sigma\_i \\in \\Delta(S\_i)$$

這裡 $\\sigma\_i$ 是玩家 $i$ 選每個純策略的機率，$\\Delta(S\_i)$ 是所有機率分佈構成的單形（simplex）。

簡單講：當其他人都用某個機率分佈玩時，**你最好也用同樣的機率分佈玩**。

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## 第三章：納許的存在性定理 — 每場有限遊戲都有均衡

### 3.1 定理敘述

> **納許定理（1950）**： *每一場有 n 個玩家、每個玩家策略集合都有限的非合作賽局，至少存在一個（純策略或混合策略）納許均衡。*

這是個極其暴力的結論。

它的意思是：不管遊戲多複雜（幾個玩家都行、每個人策略數再多也行），**只要策略集合是有限的**——也就是說可以列舉出來——**就一定找得到一個「大家都不想單獨改變」的點**。

數學上，納什用了兩個固定點定理來證：

| 工具 | 用途 |
|---|---|
| **Kakutani 不動點定理**（1950 論文） | 處理一般賽局 |
| **Brouwer 不動點定理**（1951 簡化版） | 處理更特定形式 |

不動點定理的核心想法是：

> 把每個玩家的「最佳回應（best response）」看成一個從策略空間到策略空間的映射，**整個映射的不動點就是均衡**。

就像你拿一張地圖，往地圖上每個點都畫個箭頭指向「最好去的地方」。納許證明**這些箭頭一定有某個回到原點的點**——那個點就是均衡。

### 3.2 直覺類比

想像你走進一個大迷宮。每個房間都有個螢幕顯示「往哪走最好」。你跟著螢幕走。

**納許定理說**：不管迷宮多複雜，**一定存在某個房間，螢幕上寫的「往這裡走」剛好就是這個房間本身**。

這個房間就是均衡點。

### 3.3 一個 n=3 的簡單例子：三候選人選戰

3 個候選人 A、B、C 競爭一個選舉。每個候選人選「主打議題」三選一：經濟、環保、社會福利。

- 假設選民分布是 50% 經濟、30% 環保、20% 社會福利
- 3 人都主打經濟 → 票數被瓜分，**全部都輸得很慘**
- 1 人經濟、1 人環保、1 人社會福利 → **得票最高的反而是環保那個（30%）**

**納許均衡是什麼？** A 主打經濟、B 主打環保、C 主打社會福利，剛好瓜分全部票數。**沒有人能單獨改主打議題而多贏**。

這就是經典的「差異化」策略均衡。

### 3.4 一個 n=10 的例子：公共財悲劇（Tragedy of the Commons）

10 個漁民共用一個湖泊，每人每天可以選「釣 5 條」或「釣 10 條」。

- 湖能養 80 條魚，超過就隔年減產
- 大家都釣 5 條 → 每天 50 條，永續 5 個人以上有魚釣
- 大家都釣 10 條 → 每天 100 條，隔年崩潰，10 個人都沒魚

**混合策略納許均衡是什麼？** 每個漁民以某個機率 $p$ 選「釣 5 條」。

具體的 $p$ 數值可以由「**期望效用 = 0 變化**」的條件解出來。

結果是：**均衡的 $p$ 比「對社會最好的 $p$」低很多**。即使每個漁民都理性，湖泊還是會被過度捕撈。

> 這就是為什麼「氣候變遷」這種全球公共財問題這麼難解——**每個國家都是漁民，納許均衡不是帕累托最優**。

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## 第四章：Cournot 寡占 — 連續策略的經典

![Cournot 寡占模型：3 個工廠的最佳產量互相牽動](https://www.dbyellow.com/blog/nash-series-2-n-person-games/cournot-diagram.jpg)

### 4.1 設定

到目前為止我們都在講「策略是離散的」（認罪/沉默、5 條/10 條）。但現實中很多策略是**連續的**——價格、產量、投資額度。

**Cournot 模型**（1838 年，比納什早了 100 多年，但納許把它推廣到 n 家公司）描述的就是這種情境：

- 市場上 $n$ 家公司生產同質商品
- 每家公司同時選**產量** $q\_i$（連續變數）
- 市場價格 $P(Q) = a - bQ$，其中 $Q = \\sum q\_i$
- 公司 $i$ 的利潤 $\\pi\_i = q\_i \\cdot (a - bQ) - c \\cdot q\_i$

### 4.2 兩家公司的均衡

最簡單的 $n=2$ 版本：

- 公司 1 選 $q\_1$，公司 2 選 $q\_2$
- 公司 1 給定 $q\_2$ 時的最佳反應：$q\_1^\* = \\frac{a - c - bq\_2}{2b}$
- 公司 2 給定 $q\_1$ 時的最佳反應：$q\_2^\* = \\frac{a - c - bq\_1}{2b}$

把兩個反應函數聯立求解：

$$q\_1^ *= q\_2^* = \\frac{a-c}{3b}$$

這就是 **Cournot 均衡**——每家公司產量 $\\frac{a-c}{3b}$，沒有人能單獨改產量而賺更多。

注意：\**總產量 $Q^* = \\frac{2(a-c)}{3b}$ 比獨占（$\\frac{a-c}{2b}$）大，比完全競爭（$\\frac{a-c}{b}$）小\*\*。

### 4.3 n 家公司的推廣

把 $n$ 家公司放進來，納許均衡變成：

$$q\_i^\* = \\frac{a-c}{(n+1)b} \\quad \\text{（對所有 $i$）}$$

**關鍵觀察**：

| 情境 | $n$ | $Q^\*$ | 市場價格 |
|---|---|---|---|
| 完全獨占 | 1 | $\\frac{a-c}{2b}$ | 高 |
| 兩家寡占 | 2 | $\\frac{2(a-c)}{3b}$ | 中 |
| 10 家寡占 | 10 | $\\frac{10(a-c)}{11b}$ | 較低 |
| 完全競爭 | $\\infty$ | $\\frac{a-c}{b}$ | 接近邊際成本 |

> **廠商越多，市場越接近完全競爭，價格越低。**

這個結論跟直覺一致，也被現實無數次驗證：

- 台北的早餐店密度 → 蛋餅便宜
- 半導體的少量寡占（3-4 家）→ 價格高、利潤好
- 農產品市場（無數農民）→ 接近競爭，農民利潤薄

### 4.4 Bertrand 的反撲

順帶提一個**重要的反例**：如果廠商選的不是「產量」而是「**價格**」（Bertrand 模型），均衡的 $n=2$ 已經會**直接打到邊際成本**——兩家雙占就足以達到完全競爭的結果。

這是為什麼「價格戰」這麼可怕：在價格賽局裡，**兩個玩家就夠了，**不需要無限多家。

### 4.5 Stackelberg 與時間賽局

另一個延伸：**如果一家公司先動，另一家看著辦**（leader-follower），均衡就變成 Stackelberg 均衡——leader 比 Cournot 賺更多，follower 比 Cournot 賺更少。

這給現實的啟示：**先動優勢（first-mover advantage）** 在很多市場真的存在。

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## 第五章：多均衡的困境 — 怎麼選？

### 5.1 均衡可能不只一個

納許定理只保證「**至少一個**」均衡存在。

但很多遊戲裡，**均衡有好幾個**。

經典案例：**協調賽局（coordination game）**

- 兩個人，兩個策略：「用 HTC 標準」或「用 iOS 標準」
- 兩個均衡：都選 HTC、還是都選 iOS
- 都選錯（一人 HTC 一人 iOS）→ 大家都慘

### 5.2 焦點定理與 Schelling Point

經濟學家 Thomas Schelling 1960 年提出一個非正式但實用的概念：

> **焦點（focal point / Schelling point）**：在多個均衡中，那個「大家會自然傾向選」的點。

例子：

- 在紐約，兩個人要在中午 12 點見面，**大中央車站的時鐘**是焦點（不是時代廣場）
- 兩家新創公司選技術棧，**「大家都選 React」**就是焦點
- 冷戰時蘇美避免核戰，**「雙方都不要先按按鈕」**是焦點

焦點不是數學解出來的，而是**文化、慣例、可見度**累積出來的。

### 5.3 路徑依賴與 QWERTY 故事

鍵盤上的 QWERTY 排列其實**不是最有效率的**（Dvorak 排列打字更快）。但因為大家都學 QWERTY、學校教 QWERTY、廠商做 QWERTY 鍵盤——**這個「不好的均衡」就自我強化了**。

這就是**路徑依賴（path dependence）**——一旦某個均衡被選中，要轉換到另一個均衡的成本會越來越高。

現實中還有：

- VHS vs Betamax（VHS 贏了，Betamax 技術更好但被淘汰）
- Windows vs Mac OS（Windows 因為「大家都用」而成為 PC 預設）
- Twitter 的 140 字限制（後來解除，但「短文社群」這個定位已經定型）

### 5.4 風險主導 vs 利潤主導

另一種選均衡的方式是**風險態度**：

- 風險愛好者 → 選「期望值高」但「可能慘」的均衡
- 風險規避者 → 選「期望值低」但「保證不差」的均衡

在博弈設計（mechanism design）裡，這是**「個體理性約束」**的一部分——你不能強迫玩家接受「期望值高但有破產風險」的選項。

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## 第六章：精練均衡 — 把「不可信」的那種砍掉

### 6.1 不可信威脅問題

回到納許均衡的定義，它允許一種奇怪的解：

> **不可信威脅（non-credible threat）**

經典例子：

> 兩家公司在爭一個市場。公司 A 威脅：「如果你進來，我會**不惜成本**跟你打價格戰，讓你虧到脫褲子。」
> 
> 理性來看，公司 A 其實不會真的這麼做（打價格戰自己也會虧），但納許均衡的純定義允許這個「威脅」維持均衡。

1965 年，Reinhard Selten 提出 **子賽局完美均衡（subgame perfect equilibrium, SPE）**：

> 剔除那些「在後續子賽局中不會被執行」的威脅。

換句話說：**威脅必須是你在每個分岔點都會真的做的事**，才算均衡。

### 6.2 完美貝氏均衡

當玩家之間**資訊不對稱**（你不知道對手是強是弱、是男是女、是新創還是老牌），Harsanyi 1967 年提出 **完美貝氏均衡（perfect Bayesian equilibrium）**：

> 每個玩家根據「**信念（belief）**」做決定，而信念要根據貝氏定理（Bayes' theorem）隨觀察到的訊息更新。

這是現代經濟學最常用的均衡概念之一，也是 AI agent 在不完美資訊下做決策的理論基礎。

### 6.3 顫抖手均衡

Selten 後來還提出 **顫抖手均衡（trembling hand perfect equilibrium）**：

> 允許玩家「偶爾手滑」點錯按鈕，在這種情況下還是均衡的策略組合才算穩定。

這個概念在電競、賽車、機器人競賽裡超級實用——現實中沒有「100% 不犯錯」的人或 AI。

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## 第七章：AI 時代的 n 人非合作賽局

### 7.1 多代理人強化學習（MARL）就是 n 人賽局

回到系列 1 提到的多代理人強化學習（Multi-Agent Reinforcement Learning, MARL）：

每個 AI agent 是「玩家」，每個 agent 的策略網路是它的「策略空間」，每個 agent 收到的 reward 是它的「效用函數」。

**整個 MARL 系統就是一個 n 人非合作賽局**。

而 MARL 訓練的目標就是——**找到這個遊戲的納許均衡**。

問題是：當 $n$ 很大（10 個以上 agent）、策略空間是連續的、神經網路有上千萬個參數時，**找到純粹的納許均衡極難**。

所以實務上 MARL 用的是：

- **近似納許均衡（approximate NE）**：允許「小偏差」
- **相關均衡（correlated equilibrium）**：放寬「獨立選擇」假設，由一個共同訊號（如第三方）協調
- **平均場均衡（mean-field equilibrium）**：當 $n \\to \\infty$ 時，把「其他所有人的平均行為」當成一個外部場

### 7.2 LLM agent 的合作與背叛

2024-2025 年起，矽谷開始流行讓多個 LLM agent 互動（例如 AutoGPT 衍生的各種多 agent 框架）。

實驗發現：

- 純粹非合作（每個 agent 只為自己 reward）→ 容易陷入囚徒困境
- 加入「共同目標」（cooperative game）→ 表現大幅提升
- 加上「社會規範」（prompt engineering 強調「不要欺騙同伴」）→ 進一步提升

**這正是賽局理論在工程實務中的應用**：當預設的 n 人非合作賽局跑不出好結果時，**就改變遊戲規則**——加共同獎勵、加規範、引入裁判。

### 7.3 區塊鏈共識：千萬人級的 n 人賽局

比特幣的礦工超過 1000 萬人，以太坊的驗證者超過 100 萬人。

這是**人類歷史上規模最大的 n 人非合作賽局**之一。

- 礦工都想最大化自己的挖礦收益
- 礦工可以選擇「誠實挖礦」或「作弊」（double-spending attack）
- 網路要設計規則讓「**誠實是均衡**」

中本聰的天才之處在於：他設計了一個賽局，**作弊的期望成本遠高於期望收益**：

- 算力作弊成本 = 51% 攻擊的硬體 + 電費
- 收益 = 短期內可能偷到的幣
- 但作弊成功的話幣價崩盤 = 整個礦工投資打水漂

**這就是經典的「機制設計」——用經濟激勵把「非合作均衡」引導到「對社會好的方向」**。

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## 第八章：為什麼這 28 頁改變了世界？

回頭看，納什 1950 年那 28 頁博士論文，**真正厲害的不是「找出 2 人的均衡」**——那個概念 Cournot 1838 年就有了。

**真正厲害的是三件事**：

1. **從 2 人推到 n 人**：用 Kakutani 不動點定理證明任意有限非合作賽局都有均衡
2. **純策略推廣到混合策略**：允許「隨機化」解決了剪刀石頭布這類無純均衡的問題
3. **把「非合作」當基本模型**：把「合作」當成需要額外解釋的特殊情形

這三件事一起，給了經濟學家、政治學家、生物學家、AI 研究員**一個通用的數學骨架**。

任何涉及「多個獨立決策者」的情境——市場、選舉、演化、AI、區塊鏈——都可以套用納許的框架去分析。

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## 結語：你怎麼找到你的均衡？

這一篇我們從 2 人推到 n 人、從純策略推到混合策略、從單一均衡推到多均衡與精練。

但我故意留了一個問題沒回答：

> **如果現實常常有多個均衡，你怎麼知道「該選哪個」？**

這個問題的答案不在納許 1950 年——在後來的經濟學家：Schelling（焦點）、Selten（精練）、Harsanyi（不完美資訊）、Myerson（機制設計）。

**但最關鍵的是 Shapley。**

Shapley 在 1953 年（納許的同事）提出了「**合作賽局**」的解概念——**Shapley 值**。它回答了：

> 「如果一群人可以**事先組隊、合約、一起決策**，事後的利益該怎麼分才公平？」

這正是系列 3 要講的：**合作博弈、Shapley 值、機制設計**。

敬請期待。

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**系列文導讀**

這是「納許與賽局理論」系列的第二篇。我們這次走進了納許 1950 年博士論文的數學世界，從 2 人推到 n 人、從純策略推到混合策略。我們用 Cournot 寡占看連續策略、用協調賽局看多均衡的困境、用子賽局完美均衡剔除不可信威脅，最後連到 AI 多代理人和區塊鏈共識。

但故事還沒完。納許自己 1953 年那篇《Two-Person Cooperative Games》其實已經埋下了「合作賽局」的種子，只是被他的「非合作」光環蓋過去了。後來的經濟學家——Shapley、Myerson、Maskin——把這條線接下去，發展出整套「機制設計」理論，影響了拍賣設計、AI 倫理、碳交易市場、甚至選舉制度。

**系列 3 預告：合作博弈、Shapley 值與機制設計 — 當一群人可以合約時，世界會變成什麼樣？**

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**參考資料**

- Nash, J. F. (1950). *Equilibrium points in n-person games*. Proceedings of the National Academy of Sciences.
- Nash, J. F. (1951). *Non-Cooperative Games*. Annals of Mathematics.
- Cournot, A. (1838). *Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses*.
- Schelling, T. (1960). *The Strategy of Conflict*.
- Selten, R. (1965). *Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit*.
- Harsanyi, J. C. (1967). *Games with Incomplete Information Played by "Bayesian" Players*.
- Myerson, R. B. (1991). *Game Theory: Analysis of Conflict*.
- Wikipedia: *Cournot competition*, *Bertrand competition*, *Stackelberg competition*, *Tragedy of the commons*, *Schelling focal point*, *Subgame perfect equilibrium*, *Correlated equilibrium*, *Mean-field game theory*

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